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Selbstlern-Modul 3: Exponentialgrundlagen & e-Funktion
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Arbeitsauftrag: Dies ist dein Arbeitsauftrag für diese Unterrichtswoche (4×45 Minuten + Eigenarbeitsanteil). Starte eine Stoppuhr jetzt (z.B. am Handy) und übernimm jede Erläuterung in eigenen Worten in deine Unterlagen. Bearbeite jeweils erst einmal eine Übung und die KI-Aufgabe pro Abschnitt (markiert durch blaue Schrift) und prüfe danach die Zeit. Pausiere die Stoppuhr bei Unterbrechungen. Bei insgesamt ~200 Minuten kannst du deine Arbeit beenden; ansonsten arbeite weiter. Schließe nach Beendigung der Aufgaben das Feedbackmodul ab und sende mir deine Antworten aus dem Feedbackmodul im Schulportal. Dies ist der Nachweis für deine Mitarbeit. Bei Fragen kannst du dich jederzeit im Schulportal oder per Mail bei mir melden. Wenn du konkrete Nachfragen zu einer Aufgabe/Rechnung hast, dann sende mir gerne ein Screenshot/Foto von der Aufgabe per Mail.

Inhalte

  1. Exponentielles Wachstum & Zerfall (Faktor- und e-Form)
  2. Die Zahl \(e\) & die e-Funktion \(e^x\)
  3. Exponentialfunktionen zur Basis \(e\): \(f(x)=C\,e^{kx}\)
  4. Natürlicher Logarithmus \(\ln(x)\) als Gegenoperation
  5. Verdopplungszeit & Halbwertszeit (intuitiv & exakt)
  6. Verlauf & Eigenschaften von \(e^x\) und \(\ln(x)\)
  7. Lösungs-Modul (interaktiv)

Disclaimer: In einigen Aufgaben nutzt du ein KI-Sprachmodell. Wenn du das nicht möchtest oder darfst, überspringe diese Aufgaben. Kläre das vorher mit deinen Erziehungsberechtigten und beachte Datenschutzerklärungen/AGB.

1) Was ist exponentielles Wachstum & Zerfall?

Kernidee: Die Größe ändert sich proportional zu ihrem aktuellen Bestand. In Stufenform (pro Zeiteinheit) lautet das Modell:

\[ y(t) = y_0 \cdot a^{t} \quad (a>0) \]

  • \(a>1\): Wachstum (z. B. 1,05 = +5 % pro Schritt)
  • \(0<a<1\): Zerfall (z. B. 0,90 = −10 % pro Schritt)

Hinweis: In diesem Kapitel arbeiten wir ausschließlich mit dem Stufenmodell \(y=y_0\cdot a^{t}\). Kontinuierliches Wachstum folgt erst in Kapitel 2/3.

Verdopplung & Halbierung – anschaulich (ohne Logarithmen):
  • Verdopplung: Suche eine Schrittzahl \(n\) mit \(a^{n}\approx 2\). Beispiel: bei \(a=1{.}08\) ist \(1{.}08^{9}\approx1{.}999\), also ca. 9 Schritte.
  • Halbierung: Finde \(n\) mit \(a^{n}\approx\tfrac{1}{2}\). Beispiel: bei \(a=0{.}88\) ist \(0{.}88^{7}\approx0{.}44\), also grob 7 Schritte.
  • Exaktes Rechnen kommt in Kapitel 4 über \(\ln\).
Hilfen & Videos:

Mehr dazu: Studyflix: exponentielles Wachstum · Studienkreis: Wachstum/Abnahme

Übungen:
  1. Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um 8 %. Stelle ein Modell in a-Form auf und gib den Faktor \(a\) an.
  2. Eine Substanz nimmt pro Stunde um 12 % ab. Stelle ein Modell \(y=y_0\cdot a^{t}\) auf und gib \(a\) an.
  3. Ein Kapital wächst mit \(a=1{.}03\) pro Jahr. Gib den jährlichen Prozentzuwachs an und formuliere \(y=y_0\cdot a^{t}\).
KI-Aufgabe: „Öffne ein KI-Sprachmodell deiner Wahl (ChatGPT, Gemini, Claude, …) und tippe: "Auf der Seite www.harzenetter.eu/m-q12-wdh-zum-schuljahresanfang3.html stehen meine Selbstlernaufgaben. Durchsuche die Website und formuliere zum Thema 'Exponentielles Wachstum und Zerfall (ohne e)' anhand der Aufgaben und Informationen auf dieser Website 8 kurze Wahr/Falsch-Aussagen zu Wachstum in Stufenform (\(y=y_0 a^t\)), Prozentfaktor \(a\) und Zerfall. Stelle sie nacheinander, prüfe meine Antworten und gib sofort kurzes Feedback. Wenn du nicht auf die Seite zugreifen kannst, sag Bescheid – ich schicke einen Screenshot.“

2) Was ist die Zahl \(e\)?

\(e\) ist eine besondere reelle Zahl (\(e\approx 2{.}71828\dots\)), die in vielen Wachstumsprozessen natürlich auftritt. Zwei Zugänge:

  1. Grenzwert-Definition: \[ e = \lim_{n\to\infty} \Bigl(1 + \tfrac{1}{n}\Bigr)^{n}. \]
    2. In einfachen Worten (Grenzwert-Intuition): Stell dir 100 % Zinsen pro Jahr vor, aber das Jahr wird immer feiner in \(n\) gleich große Teile zerlegt und jedes Mal wird sofort wieder mitverzinst. Die Endfaktoren sind \(\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}\). Je öfter du aufteilst (je größer \(n\)), desto näher kommt der Faktor an eine feste Zahl heran – genau das ist \(e\) (etwa 2.71828…).
  2. Ableitungs-Eigenschaft: Die Steigung von \(f(x)=e^{x}\) ist überall gleich der Funktionswert: \(f'(x)=e^{x}\). (Vorschau auf Modul 4, hier ohne Rechnen.)
Hilfen & Videos:

Mehr dazu: Studyflix: Eulersche Zahl · Schülerhilfe · Fraunhofer FHR

Übungen:
  1. Schätze \(e\) näherungsweise über \((1+1/n)^n\) für \(n=10,100,1000\). Welche Tendenz erkennst du?
  2. Warum ist \(e\) für kontinuierliches Wachstum praktisch? Formuliere einen Merksatz.
    3. Hinweis: Was bedeutet „kontinuierliches Wachstum“ – und warum Basis \(e\)? Diskrete Modelle wachsen in Schritten (Faktor \(a\) pro Zeiteinheit). Kontinuierlich heißt: Die Größe ändert sich zu jedem Zeitpunkt, ohne Sprünge, mit einer konstanten momentanen Rate. Lässt man die Zins-/Wachstumsintervalle immer kleiner werden, landet man im Grenzfall bei der Basis \(e\) und der Schreibweise \(y=y_0\,e^{k t}\). Darum ist \(e\) die „natürliche“ Basis für stetige Prozesse.
KI-Aufgabe: "Erzeuge 4 kurze Erklärkarten zu \(e\): Grenzwert, Zahlwert, Auftreten in Wachstum, Ableitungs-Eigenschaft. Prüfe meine Antworten auf Korrektheit und Kürze."

3) Exponentialfunktion mit der Basis \(e\)

Das Standardmodell für kontinuierliche Prozesse ist

\[ f(x) = C\,e^{k x} \]

  • \(C\): Anfangswert (bei \(x=0\) gilt \(f(0)=C\)).
  • \(k\): Änderungsrate (positiv = Wachstum, negativ = Zerfall).
  • \(e^{k}\) ist der Faktor pro Einheit; allgemein \(a=e^{k}\).

Parameterdeutung: Bei \(f(x)=C\,e^{k(x-x_0)}\) ist \(f(x_0)=C\) der Start am Zeitpunkt \(x_0\).

Hilfen & Videos:

Mehr dazu: Studyflix: e-Funktion · Studienkreis

Übungen:
  1. Bestimme \(C\) und \(k\) aus \(f(x)=5\,e^{0{.}3x}\).
  2. Eine Population folgt \(f(t)=C\,e^{k t}\) mit \(f(0)=120\) und \(f(10)=162\). Bestimme \(k\).
  3. Welcher Faktor \(a\) entspricht \(k=\ln(1{.}07)\)? Begründe.
KI-Aufgabe: "Erstelle 5 Lückentext-Sätze zu \(f(x)=C\,e^{k x}\) (Bedeutung von \(C\), \(k\), Zusammenhang \(a=e^{k}\), Anfangswert, Vorzeichen von \(k\)). Lass mich sie ausfüllen und gib sofort Feedback."

4) Was ist der natürliche Logarithmus (\(\ln\))?

\(\ln(x)\) ist die Gegenoperation zur e-Potenz: Er beantwortet die Frage „Zu welcher Potenz muss man \(e\) erhöhen, um \(x\) zu erhalten?“

  • \(\ln(e^x)=x\) für alle \(x\);   \(e^{\ln(x)}=x\) für alle \(x>0\).
  • Log-Gesetze: \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^r)=r\,\ln a\), \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\).
  • Domäne/Wertebereich: \(\ln(x)\) nur für \(x>0\) definiert; Werte in \(\mathbb{R}\).
Exakt rechnen: Verdopplungszeit & Halbwertszeit
  • Stufenmodell \(y=y_0 a^t\):
    Verdopplungszeit \(n_2=\dfrac{\ln 2}{\ln a}\);   Halbwertszeit \(n_{1/2}=\dfrac{\ln(1/2)}{\ln a}=-\dfrac{\ln 2}{\ln a}\).
  • Kontinuierlich \(y=y_0 e^{k t}\):
    Verdopplungszeit \(T_2=\dfrac{\ln 2}{k}\) (nur \(k>0\));   Halbwertszeit \(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|k|}\) (bei Zerfall).

Beispiel: \(a=1{.}08\) → \(n_2=\ln 2/\ln 1{.}08\approx 8{.}99\) Schritte.
\(k=0{.}12\) → \(T_{1/2}=\ln 2/0{.}12\approx 5{.}78\) Zeiteinheiten.

Lösen von Exponentialgleichungen: Aus \(e^{k x}=y\) folgt durch Logarithmieren \(k x=\ln(y)\), also \(x=\tfrac{\ln y}{k}\) (falls \(y>0\)).

Hilfen, Quellen & Videos:

Grundlagen zu Verdopplungs-/Halbwertszeit: Mathebibel · Mathegym
Mehr dazu: Studyflix: Logarithmusgesetze · Studyflix: Natürlicher Logarithmus

Übungen:
  1. Löse \(e^{2x-1}=7\) nach \(x\) auf.
  2. Berechne die Verdopplungszeit für \(a=1{.}05\) und für \(k=0{.}05\). Vergleiche kurz.
  3. Zeige mit Log-Gesetzen: \(\ln\!\bigl(\tfrac{9}{2}\bigr)=\ln 9-\ln 2\) und \(\ln(\sqrt{e})=\tfrac{1}{2}\).
KI-Aufgabe: "Stelle mir 5 kurze Multiple-Choice-Fragen zu \(\ln\)-Rechenregeln, zur Umformung von \(e^{kx}=y\) und zu Verdopplungs-/Halbwertszeit (Formeln & Anwendung). Prüfe direkt und erkläre bei Fehlern kurz."

5) Verlauf von \(e^x\) und von \(\ln(x)\)

\(f(x)=e^x\):
  • Definitionsbereich: \(\mathbb{R}\); Wertebereich: \((0,\infty)\).
  • Achsenschnittpunkte: y-Achse bei \(f(0)=1\); keine Nullstellen.
  • Asymptote: \(y=0\) (x-Achse) für \(x\to-\infty\).
  • Monoton steigend; Krümmung: immer linksgekrümmt (\(f''(x)=e^x>0\)).
  • Tangente in (0,1): Steigung \(1\) (Vorschau auf Modul 4).
\(g(x)=\ln(x)\):
  • Definitionsbereich: \((0,\infty)\); Wertebereich: \(\mathbb{R}\).
  • Nullstelle bei \(x=1\) (denn \(\ln(1)=0\)); kein y-Achsen-Schnitt.
  • Vertikale Asymptote: \(x=0\) (von rechts kommend, \(\ln(x)\to-\infty\)).
  • Monoton steigend, aber flacht für große \(x\) ab.
Graph von ln(x) – Beispiel 1 Graph von ln(x) – Beispiel 2
Hilfen & Videos:
Übungen (Analyse):
  1. Nenne Nullstellen, Achsenschnittpunkte und Asymptoten von \(e^x\) und \(\ln(x)\).
  2. Skizziere grob beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem und markiere die Punkte \((0,1)\) und \((1,0)\).
  3. Wie verändern sich Graphen von \(e^{kx+b}\)? Beschreibe die Rolle von \(k\) und \(b\).
KI-Aufgabe: "Lass mich 5 Aussagen zu Eigenschaften von \(e^x\) und \(\ln(x)\) (Definitionsbereich, Asymptoten, Schnittpunkte, Monotonie) klassifizieren: wahr oder falsch, mit kurzer Begründung."

6) Besonderheiten der e-Funktion (Brücke zu Modul 4)

  • Einzigartigkeit: \(\tfrac{d}{dx} e^x = e^x\) (die Ableitung ist die Funktion selbst).
  • Tangente in \((0,1)\) hat die Steigung 1.
  • Parameterform \(e^{kx+b} = e^b\,e^{kx}\) hilft beim Interpretieren (Verschiebung/Streckung).
Video-Tipp:
Kurzaufgaben:
  1. Begründe verbal, warum \(e^{x}\) keine Nullstelle besitzt.
  2. Erläutere, warum \(e^{kx}\) für negatives \(k\) eine fallende Funktion ist.
KI-Aufgabe: "Erzeuge 3 Merksätze als Vorbereitung auf das Ableiten in Modul 4 (ohne Rechnen), z. B. zur Steigung von \(e^x\), zur Rolle von \(k\) und zur Umformung \(e^{kx+b}=e^b e^{kx}\)."
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Lösungs-Modul (interaktiv)

Blende Musterlösungen ein – erst nach eigener Bearbeitung. Du kannst einzelne Lösungen öffnen/schließen oder alle gleichzeitig anzeigen.

Kapitel 1 · Wachstum & Zerfall

Stufenform \(y=y_0 a^t\); Verdopplung/Halbierung ohne Logarithmen.

Kapitel 2 · Zahl \(e\)

Grenzwert-Intuition, „100 %“-Trick & kontinuierliches Wachstum.

Kapitel 3 · Basis \(e\): \(f(x)=C\,e^{kx}\)

Parameter lesen, \(a\leftrightarrow k\), Beispiele.

Kapitel 4 · \(\ln\), Verdopplungszeit & Halbwertszeit

\(\ln\)-Gesetze, Gleichungen & Zeitformeln.

Kapitel 5 · Verläufe von \(e^x\) & \(\ln x\)

Schnittpunkte, Asymptoten, Transformationen.

Kapitel 6 · Besonderheiten der e-Funktion

Warum \(e^x>0\); Verhalten bei \(k<0\).

Feedbackmodul

Beantworte folgende Fragen und sende deine Antworten im Schulportal mit dem Betreff: „Q1 GK HNR Feedback E-Learning-Modul 3“.

  1. Freitext: Welche Abschnitte konntest du vollständig bearbeiten?
  2. Freitext: Formuliere zwei eigene Merksätze: (a) zu Wachstum/Zerfall, (b) zu \(e\)/\(\ln\).
  3. Multiple-Choice: Welche Modelle hast du genutzt?
    ☐ \(y=y_0 a^t\)   ☐ \(y=y_0 e^{kt}\)   ☐ Logarithmische Umformung   ☐ Grafische Betrachtung
  4. Single-Choice: Wie schwierig fandest du die Begriffe \(e\) und \(\ln\)?
    ○ sehr einfach ○ einfach ○ mittel ○ schwierig ○ sehr schwierig
  5. Skalafrage (1–5): Wie zufrieden bist du mit diesem Modul?
    1 (sehr unzufrieden)… 5 (sehr zufrieden)
  6. Ja/Nein: Hast du mindestens eine KI-Aufgabe pro Abschnitt bearbeitet?
    ○ Ja ○ Nein
  7. Likert + Zusatz:
    „Ich konnte die wichtigsten Zusammenhänge selbst erklären.“
    1 … 5; falls Unterstützung nötig war: __________
  8. Zeitangabe: Geschätzte Arbeitszeit: __________ Minuten
  9. Selbsteinschätzung (1–5): Wie sicher fühlst du dich jetzt?
    1 (sehr unsicher)… 5 (sehr sicher)
  10. Freitext: Was hat dir am meisten geholfen?
  11. Offene Frage: Verbesserungsvorschläge?